Kalkulus Contoh

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $4 y y'$ dan $0$ .

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

Langkah 3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $4 y y'$ .

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.4

Biarkan $u = y$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $y$ .

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Susun kembali suku-suku.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 u$ .

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $1$ ditambah $3$

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.2.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 3 u + 1$ .

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.7

Bagi setiap suku pada $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ dengan $(- 3 y + 1) (y - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ dengan $(- 3 y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.5.1

Tulis kembali $- (3 y - 1)$ sebagai $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.7.3.5.4

Kalikan $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$