Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 - \cos (x)$ . Kemudian $d u = \sin (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 - \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$0 + \sin (x)$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Langkah 1.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Langkah 1.5.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Langkah 1.5.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Langkah 3

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{3} u^{3}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Langkah 3.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Langkah 3.2.4

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Langkah 3.2.5

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Langkah 3.2.6

Tambahkan $\frac{8}{3}$ dan $0$ .

$\frac{8}{3}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8}{3}$

Bentuk Desimal:

$2.\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$2 \frac{2}{3}$