Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.5.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.2.5.2

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.5

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.6

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Langkah 1.3.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 3}$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 1 \cdot 6} - 3}$

Langkah 1.3.8.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 6} - 3}$

Langkah 1.3.8.1.2

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

Langkah 1.3.8.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

Langkah 1.3.8.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Langkah 1.3.8.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.9

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 e^{2 x - 6} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{2 x - 6}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.6

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.8

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.6.10

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Langkah 6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Langkah 9

Pindahkan suku $6$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Langkah 10

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Langkah 11

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Langkah 12

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Langkah 13

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Langkah 14

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 15

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{6 - 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.1.3

Kurangi $3$ dengan $6$ .

$\frac{3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 6} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.2.2

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$\frac{3}{6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{3}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.2.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 1}$

Langkah 16.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3}{6 - 1}$

Langkah 16.2.6

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$\frac{3}{5}$