Kalkulus Contoh

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

Langkah 2.4.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

Langkah 3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $9 y^{2} y' - 4 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.3

Tulis kembali $9 y^{2}$ sebagai ${(3 y)}^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3 y$ dan $b = 2$ .

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ dengan $(3 y + 2) (3 y - 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ dengan $(3 y + 2) (3 y - 2)$ .

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 5.6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 5.6.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 5.6.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$