Kalkulus Contoh

$\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Langkah 1

Tulis $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{3}{10}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{10} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan $\frac{15}{10}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Faktorkan $5$ dari $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 x^{4}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.5

Gabungkan $\frac{12}{2}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2.4

Bagilah $6 x^{3}$ dengan $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $6 x^{2}$ dari $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $6 x^{2}$ dari $6 x^{3}$ .

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $6 x^{2}$ dari $60 x^{2}$ .

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $6 x^{2}$ dari $6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ .

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x + 10$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 10$ sama dengan $0$ .

$x + 10 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 10$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 x^{2} (x + 10) = 0$ benar.

$x = 0, - 10$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $\frac{3}{10}$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 10$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 10$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.2.1

Faktorkan $10$ dari $- 100000$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.4

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

Langkah 4.3.2.1.5

Kalikan $5$ dengan $10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $- 30000$ dan $50000$ .

$f (- 10) = 20000$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $20000$ .

$20000$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 10$ dalam $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ adalah $(- 10, 20000)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 10, 20000)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 10, 20000)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 10)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 10.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 10.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $- 1030.301$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 10.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 6181.806$ dan $6120.6$ .

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 61.206$ .

$- 61.206$

Langkah 6.3

Pada $- 10.1$ , turunan kedua adalah $- 61.206$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 10)$

Menurun pada $(- \infty, - 10)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 10, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $- 125$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $25$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 750$ dan $1500$ .

$f'' (- 5) = 750$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $750$ .

$750$

Langkah 7.3

Pada $- 5$ , turunan keduanya adalah $750$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 10, 0)$ .

Meningkat pada $(- 10, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $0.006$ dan $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.606$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.606$ .

$0.606$

Langkah 8.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $0.606$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(- 10, 20000)$ .

$(- 10, 20000)$

Langkah 10