Kalkulus Contoh

$y = - 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$

Langkah 1.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (x - \frac{π}{4})$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{4})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{4})]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - \frac{π}{4}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - \frac{π}{4}$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

Langkah 1.2.5

Karena $- \frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (1 + 0))$

Langkah 1.2.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) \cdot 1)$

Langkah 1.2.7

Kalikan $\cos (x - \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$0 + 3 \cos (x - \frac{π}{4})$

Langkah 1.3

Tambahkan $0$ dan $3 \cos (x - \frac{π}{4})$ .

$3 \cos (x - \frac{π}{4})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x - \frac{π}{4})$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x - \frac{π}{4}))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - 3 (\sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

Langkah 2.3.4

Karena $- \frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot 1$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4})$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 \cos (x - \frac{π}{4})}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cos (x - \frac{π}{4})}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\cos (x - \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{0}{3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$\cos (x - \frac{π}{4}) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x - \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 7.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 7.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 8

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.2

Untuk menuliskan $\frac{3 π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{3 π \cdot 2 + π}{4}$

Langkah 9.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{6 π + π}{4}$

Langkah 9.2.5.2

Tambahkan $6 π$ dan $π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 3 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

Langkah 12.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Langkah 12.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Langkah 12.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 12.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 12.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 3 \cdot 1$

Langkah 12.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 13

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

Langkah 14.2.1.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Langkah 14.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Langkah 14.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 14.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 14.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 14.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \cdot 1$

Langkah 14.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Langkah 14.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{7 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 3 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

Langkah 16.2

Kurangi $π$ dengan $7 π$ .

$- 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Langkah 16.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Langkah 16.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Langkah 16.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Langkah 16.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 16.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.6

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 3 \cdot - 1$

Langkah 16.6.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$3$

Langkah 17

$x = \frac{7 π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{7 π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{7 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

Langkah 18.2.1.2

Kurangi $π$ dengan $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Langkah 18.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Langkah 18.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Langkah 18.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Langkah 18.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 18.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 18.2.1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 18.2.1.6

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Langkah 18.2.1.6.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 - 3$

Langkah 18.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 4$

Langkah 18.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$ .

$(\frac{3 π}{4}, 2)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{7 π}{4}, - 4)$ adalah minimum lokal

Langkah 20