Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x + 2} - 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x + 2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 2}$ sebagai ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.13

Kalikan $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.14

Pindahkan ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 2}$ sebagai ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 8$

Langkah 3.3.3.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 8$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 8$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Langkah 3.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Langkah 3.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Langkah 3.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1

Bagilah $- 8$ dengan $4$ .

$x = - 2$

Langkah 3.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x + 2}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 2 < 0$

Langkah 3.5

Kurangkan $2$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < - 2$

Langkah 3.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Langkah 4

Evaluasi $\sqrt{x + 2} - 1$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\sqrt{(- 2) + 2} - 1$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\sqrt{0} - 1$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} - 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$0 - 1$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, - 1)$

Langkah 5