Kalkulus Contoh

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ sebagai $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Langkah 3.3

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Langkah 3.4

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Langkah 3.5

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $\ln (8)$ dan pada $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

$\ln (8)$ mendekati $2.07944154$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Langkah 7.2

$\ln (4)$ mendekati $1.38629436$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Langkah 7.3

Tulis kembali $\ln (8)$ sebagai $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Langkah 7.4

Perluas $\ln (2^{3})$ dengan memindahkan $3$ ke luar logaritma.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Langkah 7.5

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Langkah 7.6

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Langkah 7.7

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Langkah 7.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.20273255 \dots$