Kalkulus Contoh

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = 1 + x + y$ dan $g (y) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.7

Kalikan ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = 1 + x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 11.3

Pindahkan ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 13

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 14

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 15

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 16

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 18

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 18.2

Gabungkan $\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $y$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 18.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 18.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Biarkan $u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Masukkan $u_{2}$ untuk semua kejadian ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Kalikan $u_{2}$ dengan $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.3.1

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.1.3.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.3.2.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - (y \cdot y)}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.1.3.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y^{2}}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.3.1.2

Sederhanakan.

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.2.1

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y + 0}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.2.3.2.2

Tambahkan $1 + x^{2} - y - x y$ dan $0$ .

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Tulis kembali $\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ sebagai hasil kali.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

Langkah 19.3.2

Kalikan $\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

Langkah 19.3.3

Kalikan ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1 + x^{2} + y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.1

Kalikan ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1 + x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.1.1

Naikkan $1 + x^{2} + y^{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Langkah 19.3.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 19.3.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 19.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 19.3.3.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 19.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} - x y - y + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$