Kalkulus Contoh

$\int_{- 1}^{1} (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{- 1}^{1} 1 + \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Langkah 5.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Langkah 5.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 10.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 10.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 10.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 10.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 10.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 10.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 10.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Langkah 10.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $x$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Langkah 14.2

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Langkah 14.3

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $- π$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 14.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 14.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 14.4.3

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 14.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 14.4.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Langkah 15.1.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Langkah 15.1.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Langkah 15.1.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Langkah 15.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Langkah 15.1.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 15.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Langkah 15.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$2 + \frac{1}{2} π$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $π$ .

$2 + \frac{π}{2}$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$2 + \frac{π}{2}$

Bentuk Desimal:

$3.57079632 \dots$

Langkah 17