Kalkulus Contoh

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Kemudian $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.1.6

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

Langkah 1.1.6.2

Tambahkan $9 x^{2} + 12 x + 3$ dan $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$