Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}} d x$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}}$ sebagai $\frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}}$ .

$\int \frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Langkah 2

Karena $2 \cdot 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 \cdot 4$ keluar dari integral.

$2 \cdot 4 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Langkah 3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Kemudian $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{4}]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 4.1.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $0$ dan $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Langkah 5.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$8 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $8$ .

$\frac{8}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ sehingga $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 10.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 10.2.3

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (u_{1})$ .

$\ln^{2} (u_{1}) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 + x^{4}$ .

$\ln^{2} (3 + x^{4}) + C$