Kalkulus Contoh

$f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 7 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.1.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 7 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int 7 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Untuk menuliskan $7$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{7 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{7 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{7 \cdot 1 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.4.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\int \frac{7 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.4.3

Kurangi $3$ dengan $7$ .

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Susun kembali $1$ dan $x^{2}$ .

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Bagilah $7 x^{2} + 4$ dengan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

							$7$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					+	$7 x^{2}$	+	$0$	+	$7$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 x^{2} + 0 + 7$

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$
									-	$3$

Langkah 5.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 7 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 7 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$7 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$7 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$7 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 10.2

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 10.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C$ .

$7 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$7 x - 3 \arctan (x) + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $7 x - 3 \arctan (x) + C$