Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Langkah 2

Susun kembali $4 x^{2}$ dan $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Langkah 3

Faktorkan $4$ dari $9 + 4 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $4$ dari $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Langkah 3.3

Faktorkan $4$ dari $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Langkah 5

Tulis kembali $\frac{9}{4}$ sebagai ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Langkah 7.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Langkah 7.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Langkah 7.1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Langkah 7.1.6

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Langkah 7.1.7

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Langkah 7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Evaluasi $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ pada $t$ dan pada $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.3

Kalikan $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Langkah 7.2.2.4

Gabungkan.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.5

Terapkan sifat distributif.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.8

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.9

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.10.2.4

Bagilah $- 2 \arctan (0)$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Langkah 7.2.2.11

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Langkah 7.2.2.12

Hapus faktor persekutuan dari $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.12.1

Faktorkan $2$ dari $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Langkah 7.2.2.12.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Langkah 7.2.2.12.3

Faktorkan $2$ dari $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Langkah 7.2.2.12.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.12.4.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Langkah 7.2.2.12.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Langkah 7.2.2.12.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan suku $\frac{1}{6}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Langkah 8.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Langkah 8.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Langkah 8.4

Substitusikan $t$ untuk $\frac{2 t}{3}$ dan biarkan $t$ mendekati $\infty$ karena $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Langkah 8.5

Limit ketika $t$ mendekati $\infty$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Langkah 8.6

Evaluasi limit dari $\arctan (0)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Langkah 8.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Langkah 8.7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Langkah 8.7.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 8.7.3

Kalikan $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.3.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Langkah 8.7.3.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{π}{12}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{12}$

Bentuk Desimal:

$0.26179938 \dots$