Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int x e^{2 x} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Langkah 7

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Langkah 8

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Langkah 12

Tulis kembali $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ sebagai $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Langkah 14.1.2

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Langkah 14.1.3

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 14.2

Terapkan sifat distributif.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 14.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 14.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 14.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 14.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{2 x}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Langkah 14.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Langkah 14.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 4 x e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$