Kalkulus Contoh

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Faktorkan $x$ dari $6 x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x$ dari $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Langkah 1.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Langkah 1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Langkah 2

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Langkah 2.1.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Langkah 2.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Langkah 2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$6 x - x^{2}$

Langkah 2.1.5

Susun kembali $6 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Langkah 2.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Langkah 2.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 2.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.4.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$d = - 3$

Langkah 2.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Langkah 2.5.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Langkah 2.5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$e = 9$

Langkah 2.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = x - 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 3.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Langkah 3.3

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Langkah 3.5

Kurangi $3$ dengan $6$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Langkah 4.2

Susun kembali $- u^{2}$ dan $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ terhadap $u$ adalah $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{u}{3})$ pada $3$ dan pada $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Langkah 6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Langkah 6.2.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Langkah 7.1.2

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Langkah 7.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Langkah 7.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{π}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{2}$

Bentuk Desimal:

$1.57079632 \dots$

Langkah 9