Kalkulus Contoh

${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 6.3

Pindahkan ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Langkah 7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Langkah 10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Langkah 12

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1)$

Langkah 14

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$ .

$(6 x^{2} + 2 x - 6) \frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.2

Kalikan $6 x^{2} + 2 x - 6$ dengan $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(6 x^{2} + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2} + 2 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2}$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.3.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 (x) - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.3.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.3.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{(2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.3.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 15.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + x - 3)}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$