Kalkulus Contoh

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Tulis kembali $- 1 e^{x}$ sebagai $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $e^{x}$ dengan $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.4

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.4.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.4.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- 2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.4.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $h (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$e^{x} (x - 2) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.3.2.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.3.2.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.3.2.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.3.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (x - 2) = 0$ benar.

$x = 2$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{e^{x}}{x - 1}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

Langkah 4.1.2.2

Bagilah $e^{2}$ dengan $1$ .

$e^{2}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

Langkah 4.2.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(2, e^{2})$

Langkah 5