Kalkulus Contoh

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ sehingga $3 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Langkah 2.1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $3$ dari $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Langkah 3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Langkah 3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Kemudian $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 {u_{1}}^{2} + 7$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $9 {u_{1}}^{2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $7$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $7$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $18 u_{1}$ dan $0$ .

$18 u_{1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{18}$ dan $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{3}{18}$ dan $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Langkah 5.3

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Langkah 5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 9

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Langkah 9.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Langkah 10

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$