Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{10} x^{- 4} + \frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{10} x^{- 4} + \frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $\frac{1}{10}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{10} x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$\frac{1}{10} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 4}{10} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $\frac{- 4}{10}$ dan $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{10 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{10 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $10 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 2)}{2 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{5} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.4

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $\frac{20}{5}$ dan $x^{4}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Faktorkan $5$ dari $20 x^{4}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.3.6.2.4

Bagilah $4 x^{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- \frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{2} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - \frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 4 (\frac{3}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.4

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.5

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.6

Gabungkan $\frac{- 12}{2}$ dan $x^{3}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 12 x^{3}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.4.7.2.4

Bagilah $- 6 x^{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 2 (2 x)$

Langkah 1.5.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x$

Langkah 1.6

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - \frac{2}{5 x^{5}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - \frac{2}{5 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$16 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- \frac{2}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{5 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{5}}$ sebagai ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Langkah 2.5.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.5.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.5.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Langkah 2.5.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Langkah 2.5.5.2

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Langkah 2.5.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Langkah 2.5.7

Kalikan $x^{- 10}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Langkah 2.5.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Langkah 2.5.7.3

Kurangi $10$ dengan $4$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{- 6})$

Langkah 2.5.8

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + 5 (\frac{2}{5}) x^{- 6}$

Langkah 2.5.9

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5} x^{- 6}$

Langkah 2.5.10

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10}{5} x^{- 6}$

Langkah 2.5.11

Gabungkan $\frac{10}{5}$ dan $x^{- 6}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10 x^{- 6}}{5}$

Langkah 2.5.12

Pindahkan $x^{- 6}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10}{5 x^{6}}$

Langkah 2.5.13

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.13.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 x^{6}}$

Langkah 2.5.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.13.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{6}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 (x^{6})}$

Langkah 2.5.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 x^{6}}$

Langkah 2.5.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{2}{x^{6}}$

Langkah 2.6

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$