Kalkulus Contoh

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 3.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 3.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 3.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.1.8.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Langkah 5

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Faktorkan $\sin^{2} (u_{1})$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (u_{1})$ .

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Langkah 14.2

Terapkan sifat distributif.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Langkah 14.3

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Langkah 14.4

Gabungkan $16$ dan $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$