Kalkulus Contoh

${(x y)}^{x} = e$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang Digeneralisir yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ adalah $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ di mana $f = x y$ dan $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Langkah 2.6.5

Susun kembali suku-suku.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Langkah 3

Karena $e$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.2

Kalikan $x^{x - 1}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.2.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.3

Kalikan $x^{x - 1}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $1 + x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.3.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.3.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.4

Kalikan $y^{x - 1}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.4.1

Pindahkan $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $y^{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.4.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $1 + x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.4.3.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.1.4.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Langkah 5.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $x^{x + 1} y^{x - 1}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Langkah 5.3

Faktorkan $x' x^{x} y^{x}$ dari $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $x' x^{x} y^{x}$ dari $x' x^{x} y^{x}$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x' x^{x} y^{x}$ dari $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x' x^{x} y^{x}$ dari $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ dengan $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ dengan $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + \ln (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.2.3.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{x + 1}$ dan $x^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Faktorkan $x^{x}$ dari $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Faktorkan $x^{x}$ dari $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Langkah 5.4.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{x - 1}$ dan $y^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Faktorkan $y^{x}$ dari $- x y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Langkah 5.4.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Pindahkan $y^{- 1}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Langkah 5.4.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Langkah 5.4.3.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ .

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$