Kalkulus Contoh

$\ln (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \ln (y)$ dan $g (y) = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 10

Pindahkan ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 12

Kalikan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 12.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 12.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 12.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 13

Sederhanakan $2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 15

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 16

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (2 y)$

Langkah 18

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})} y$

Langkah 18.2

Gabungkan $\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})}$ dan $y$ .

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 18.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 18.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$