Kalkulus Contoh

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x^{2} + 1)}^{2 x}$ sebagai $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})$ dengan memindahkan $2 x$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \ln (x^{2} + 1)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)]$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 5.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 6.5.3

Gabungkan $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))$

Langkah 12

Kalikan $\ln (x^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1)))$

Langkah 13

Untuk menuliskan $\ln (x^{2} + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}))$

Langkah 14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

Langkah 15

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ .

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 16

Gabungkan $e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}$ dan $\frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan $2 \ln (x^{2} + 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2.3

Kalikan $\ln (x^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2.5

Kalikan $2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.5.1

Susun kembali $\ln (x^{2} + 1)$ dan $2$ .

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 \cdot \ln (x^{2} + 1) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2.5.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (x^{2} + 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.2.6

Sederhanakan $2 \ln (x^{2} + 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}))}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.2.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$\frac{4 x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} + x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Langkah 17.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$