Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{5}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 5.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $x^{- 4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 7.2

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Langkah 9

Biarkan $u = 1 - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 1 - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 9.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 9.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 9.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Langkah 9.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$0 - 2$

Langkah 9.1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- 2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 10.2

Gabungkan $u^{3}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Langkah 12.2

Kalikan $\int \frac{u^{3}}{2} d u$ dengan $1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Langkah 15.2.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $u^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

Langkah 15.2.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{u^{4}}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

Langkah 15.2.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - 2 x$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$