Kalkulus Contoh

$e^{x + y} = x y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (e^{x + y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y' + y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $e^{x + y} (1 + y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Langkah 5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y' = x y' + y$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$e^{x + y} + e^{x + y} y' = x y' + y$

Langkah 5.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$e^{x + y} + y' e^{x + y} = x y' + y$

Langkah 5.2

Kurangkan $x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{x + y} + y' e^{x + y} - x y' = y$

Langkah 5.3

Kurangkan $e^{x + y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' e^{x + y} - x y' = y - e^{x + y}$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $y' e^{x + y} - x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $y' e^{x + y}$ .

$y' (e^{x + y}) - x y' = y - e^{x + y}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y'$ .

$y' (e^{x + y}) + y' (- x) = y - e^{x + y}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (e^{x + y}) + y' (- x)$ .

$y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ dengan $e^{x + y} - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ dengan $e^{x + y} - x$ .

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x + y} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$