Kalkulus Contoh

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x - 3$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{u^{3}}{2}$ dengan $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Langkah 3.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Langkah 3.5

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Langkah 3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Langkah 3.7

Kalikan $\frac{u^{3}}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

Langkah 3.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

Langkah 4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{3}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{3}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Langkah 10.2.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Langkah 10.2.3

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

Langkah 10.2.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 3$ .

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$