Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $\frac{1}{27}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ dan $g (x) = 9 x^{2} + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Langkah 3.8

Kalikan $\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ dengan $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Langkah 3.9

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Langkah 3.10

Faktorkan $3$ dari $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Langkah 3.11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Langkah 3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Langkah 3.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Langkah 3.12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 3.13

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 3.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 3.15

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 3.16

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

Langkah 3.17

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.1

Tambahkan $18 x$ dan $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

Langkah 3.17.2

Gabungkan $18$ dan $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

Langkah 3.17.3

Gabungkan $\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ dan $x$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Langkah 3.17.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Langkah 3.17.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.5.1

Bagilah ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ dengan $1$ .

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 3.17.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$