Kalkulus Contoh

$y = \frac{x}{x + y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $x + y$ dengan $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + y - x - x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $- (x y' - y)$ sebagai $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Langkah 5.2.1.3.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Langkah 5.2.1.4

Pindahkan $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $- 1 y'$ sebagai $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Langkah 5.3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Tambahkan $y' x$ ke kedua sisi persamaan.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.2

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.3.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.3.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.3.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.4

Terapkan sifat distributif.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.2.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.3.6

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Langkah 5.3.3.7

Faktorkan $y'$ dari $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ dengan $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ dengan $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Langkah 5.3.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$