Kalkulus Contoh

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ sebagai $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

Langkah 1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sebagai ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 3

Kalikan $x^{2} + y^{2}$ dengan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $x^{2} + y^{2}$ dengan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Naikkan $x^{2} + y^{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Langkah 3.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 9.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 12

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 13

Faktorkan $3$ dari $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 15

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 17

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Langkah 18

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Langkah 18.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Langkah 18.3

Gabungkan $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Langkah 18.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Langkah 18.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Bagilah ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ dengan $1$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 18.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$