Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 9 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 9 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 9 \cdot 1$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 9$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$3 x^{2} - 9 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 9 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 9 \cdot 1$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 9$ .

$3 x^{2} - 9$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 9 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} = 9$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $3 x^{2} = 9$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{2} = 9$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah $9$ dengan $3$ .

$x^{2} = 3$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \sqrt{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 (\sqrt{3})$

Langkah 9

Kalikan $6$ dengan $\sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Langkah 10

$x = \sqrt{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \sqrt{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{3} - 9 \sqrt{3}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{3}} - 9 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{27} - 9 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.1.3

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.3.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{9 (3)} - 9 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.1.3.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 9 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (\sqrt{3}) = 3 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.2

Kurangi $9 \sqrt{3}$ dengan $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \sqrt{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 (- \sqrt{3})$

Langkah 13

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 6 \sqrt{3}$

Langkah 14

$x = - \sqrt{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \sqrt{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \sqrt{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - {\sqrt{3}}^{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{3}} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{27} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.5

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.5.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{9 (3)} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.5.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- \sqrt{3}) = - (3 \sqrt{3}) - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 3 \sqrt{3} - 9 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 3 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

Langkah 15.2.2

Tambahkan $- 3 \sqrt{3}$ dan $9 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{3} - 9 x$ .

$(\sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ adalah minimum lokal

$(- \sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ adalah maksimum lokal

Langkah 17