Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{9 x}$ sebagai ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $9$ dari $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $9 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.9

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Langkah 4.10

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 4.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 4.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Langkah 4.12.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Langkah 4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Langkah 4.14

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 4.15

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 4.16

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.17.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.17.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$