Kalkulus Contoh

$\int \frac{{(2 x^{3} + 3 x)}^{2}}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2} d x$

Langkah 3

Perluas ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2}$ sebagai $(2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\int (2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x) x^{- 2} d x$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3} + 3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

Langkah 3.4

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Langkah 3.5

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x)) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Langkah 3.6

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Langkah 3.7

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Langkah 3.9

Pindahkan $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Langkah 3.10

Pindahkan $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Langkah 3.11

Pindahkan $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.12

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int 4 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{3 + 3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.14

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$\int 4 x^{6} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{6 - 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.16

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.17

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.18

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 (x^{3} x^{1}) x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.19

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3 + 1} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.20

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.21

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.22

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.23

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.24

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 (x^{1} x^{3}) x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.25

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{1 + 3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.26

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.27

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.28

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.29

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Langkah 3.30

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Langkah 3.31

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Langkah 3.32

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Langkah 3.33

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2} x^{- 2} d x$

Langkah 3.34

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2 - 2} d x$

Langkah 3.35

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{0} d x$

Langkah 3.36

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 \cdot 1 d x$

Langkah 3.37

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 d x$

Langkah 3.38

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $6 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} + 12 x^{2} + 9 d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 4 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Langkah 5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Langkah 7

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int 9 d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 9 d x$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

Langkah 10.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 9 x + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

$\frac{4 x^{5}}{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$

Langkah 10.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4}{5} x^{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$