Kalkulus Contoh

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Langkah 1

Bagilah $x + 3$ dengan $4 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Langkah 1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Langkah 3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Langkah 3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x + 2$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$