Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Langkah 3.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 3.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Langkah 3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Langkah 3.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Langkah 3.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Langkah 6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Evaluasi $- \frac{u_{2}}{2}$ pada $e^{- t^{2}}$ dan pada $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ sebagai hasil kali.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{e}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Langkah 6.2.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Langkah 7.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Langkah 7.1.3

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Langkah 7.2

Karena eksponen $- t^{2}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- t^{2}}$ mendekati $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Langkah 7.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Evaluasi limit dari $\frac{1}{2 e}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Langkah 7.3.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Langkah 7.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Langkah 7.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Langkah 7.3.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Langkah 7.3.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Langkah 7.3.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{1}{e}$

Langkah 7.3.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{e}$

Bentuk Desimal:

$0.73575888 \dots$