Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{a} 8 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = a^{2} - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = a^{2} - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a^{2} - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $a^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 2.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $a^{2}$ dan $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Langkah 2.5

Kurangi $a^{2}$ dengan $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$8 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 8 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- 8 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 8$ .

$\frac{- 8}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Langkah 7.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Langkah 7.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Langkah 7.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Langkah 7.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 4}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Langkah 7.1.2.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Langkah 7.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $0$ dan pada $a^{2}$ .

$- 4 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- 4 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- 4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.6.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 4 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 10.2.7

Kalikan eksponen dalam ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.7.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Langkah 10.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Langkah 10.2.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

Langkah 10.2.8

Kurangi $\frac{2 a^{3}}{3}$ dengan $0$ .

$- 4 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

Langkah 10.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$4 \frac{2 a^{3}}{3}$

Langkah 10.2.10

Gabungkan $4$ dan $\frac{2 a^{3}}{3}$ .

$\frac{4 (2 a^{3})}{3}$

Langkah 10.2.11

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$\frac{8}{3} a^{3}$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{8}{3}$ dan $a^{3}$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$