Kalkulus Contoh

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Tulis $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 6

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 6.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Langkah 7.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Langkah 9

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (u)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 12

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$