Kalkulus Contoh

$\int x (3 x + 2) (x - 3) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x - 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (u + 3) (3 u + 3 \cdot 3 + 2) u d u$

Langkah 2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3 + 2) + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Langkah 2.4

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Langkah 2.5

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Langkah 2.6

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Langkah 2.7

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2) u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Langkah 2.8

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3)) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Langkah 2.9

Terapkan sifat distributif.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Langkah 2.10

Terapkan sifat distributif.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3)) u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.11

Terapkan sifat distributif.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.12

Susun kembali $u$ dan $3$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.13

Pindahkan $u$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.14

Susun kembali $u$ dan $2$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 \cdot u \cdot u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.15

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 (u^{1} u) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.16

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 (u^{1} u^{1}) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 3 u^{1 + 1} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 3 u^{2} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.19

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 (u^{2} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 3 u^{2 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.21

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int 3 u^{3} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.22

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.23

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.24

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u^{1}) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.25

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{1 + 1} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.26

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.27

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.28

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.29

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.30

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.31

Tambahkan $9 u^{2}$ dan $2 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.32

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.33

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.34

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.35

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.36

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.37

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 9 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.38

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 3 \cdot 2 u d u$

Langkah 2.39

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 6 u d u$

Langkah 2.40

Tambahkan $27 u$ dan $6 u$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 33 u d u$

Langkah 2.41

Tambahkan $11 u^{2}$ dan $9 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 3 u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Langkah 6

Karena $20$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $20$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 \int u^{2} d u + \int 33 u d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u$

Langkah 8

Karena $33$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $33$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 \frac{u^{2}}{2} + C$

Langkah 10.2.2

Gabungkan $33$ dan $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{4}}{4} + \frac{20 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2} + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} + \frac{20}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2} + C$