Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2}}$ sebagai $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.6.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Langkah 1.1.4.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ dengan $3 x^{\frac{1}{3}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ dengan $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Langkah 2.5.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Langkah 2.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Langkah 2.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Langkah 2.5.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Langkah 2.5.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Sederhanakan ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Langkah 2.5.4.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Langkah 2.5.4.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Langkah 2.5.4.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Langkah 2.5.4.2.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 x = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x = 0$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $27 x = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $27 x = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{1}{27}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- \frac{1}{27}$ untuk $x$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.5

Naikkan $27$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $\frac{1}{729}$ dengan $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.7

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.8

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.9.1

Tulis kembali $729$ sebagai $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.9.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.10

Kalikan $2 (- \frac{1}{27})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Langkah 4.1.2.1.10.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Langkah 4.1.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Langkah 4.1.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $27$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 - 2}{27}$

Langkah 4.1.2.5

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{27}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Langkah 4.2.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Langkah 4.2.2.1.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$0 + 2 (0)$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Langkah 5