Kalkulus Contoh

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(1 + \sin (x))}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Langkah 4

Perluas ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(1 + \sin (x))}^{2}$ sebagai $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Langkah 4.4

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.5

Susun kembali $\sin (x)$ dan $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.7

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.8

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Langkah 4.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 4.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Langkah 4.13

Tambahkan $\sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Langkah 8

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Langkah 9

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 11

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 14

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 14.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 14.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 14.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 15

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 16

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 17

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 18

Sederhanakan.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 19

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 20.2

Terapkan sifat distributif.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 20.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 20.4

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 20.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 21

Susun kembali suku-suku.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 22

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$