Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x - 6$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x - 6$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Langkah 1.3

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x - 6$ .

$u_{upper} = 12 - 6$

Langkah 1.5

Kurangi $6$ dengan $12$ .

$u_{upper} = 6$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{36 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 6 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.1.3

Kalikan $36$ dengan $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $36$ dari $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $36$ dari $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.6

Tulis kembali $36 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 3.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 3.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 3.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 3.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Karena $36$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $36$ keluar dari integral.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7.2.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 10.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 10.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 10.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 10.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 10.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 10.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 10.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Langkah 10.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 15

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Langkah 15.2

Evaluasi $\sin (u_{2})$ pada $π$ dan pada $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 15.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 15.3.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 15.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 15.3.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Langkah 16.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Langkah 16.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Langkah 16.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Langkah 16.1.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Langkah 16.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$18 (π + 0)$

Langkah 17

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$18 π$

Langkah 18

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$18 π$

Bentuk Desimal:

$56.54866776 \dots$

Langkah 19