Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (a x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = a x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $a$ dengan $1$ .

$\cos (a x) a$

Langkah 1.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a \cos (a x)$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = a x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 2.3

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.4

Naikkan $a$ menjadi pangkat $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.5

Naikkan $a$ menjadi pangkat $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Langkah 2.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Langkah 2.9.2

Susun kembali faktor-faktor dari $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- a^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- a^{2} \sin (a x)$ terhadap $x$ adalah $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = a x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 3.3

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.4

Naikkan $a$ menjadi pangkat $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Langkah 3.8

Kalikan $\cos (a x)$ dengan $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $- a^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- a^{3} \cos (a x)$ terhadap $x$ adalah $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = a x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 4.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 4.3.2

Kalikan $a^{3}$ dengan $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Langkah 4.3.3

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.4

Kalikan $a^{3}$ dengan $a$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.4.2

Kalikan $a$ dengan $a^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Naikkan $a$ menjadi pangkat $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.4.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Langkah 4.6

Kalikan $\sin (a x)$ dengan $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Langkah 5

Turunan keempat dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$