Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Langkah 2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = x + 4$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = x + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

Langkah 3.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Langkah 3.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 4}$ terhadap $u$ adalah $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $u^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Langkah 6.2

Pindahkan $u^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $- \frac{1}{3 u^{3}}$ pada $t + 4$ dan pada $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Langkah 7.2.2

Kalikan $3$ dengan $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Langkah 8.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Langkah 8.1.3

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Langkah 8.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ mendekati $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Langkah 8.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Evaluasi limit dari $\frac{1}{192}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Langkah 8.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5}{192}$

Bentuk Desimal:

$0.026041\overline{6}$