Kalkulus Contoh

$0 = x y + y^{3} - 5 - x^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3} - 5 - x^{2})$

Langkah 2

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y^{3} - 5 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - (2 x)$

Langkah 3.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - 2 x$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $x y' + y + 3 y^{2} y'$ dan $0$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' - 2 x$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$0 = x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y = 0$ .

$x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = 2 x$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 3 y^{2} y' = 2 x - y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $x y' + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' x + 3 y^{2} y' = 2 x - y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) = 2 x - y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$ dengan $x + 3 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$ dengan $x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2})}{x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 3 y^{2})}{x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3 y^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3 y^{2}}$