Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 5 \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{5}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{5} d x$ sehingga $5 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{5}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5}$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{5}} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{5}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 5) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 6.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \cdot 5 d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 6.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\sin (u_{1})$ .

$5 \int 5 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 7

Karena $5$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 (5 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 8

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$25 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 9

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

Langkah 10

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$- 25 \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{5}$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$ .

$F (x) =$ $- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$