Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3} - 2 y^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Langkah 1.1.5

Faktorkan $y$ dari $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

Langkah 2

Bagilah $y^{2} - 2 y - 1$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Langkah 2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Langkah 2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Langkah 2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Langkah 2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Langkah 2.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Langkah 2.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Langkah 2.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Langkah 2.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 y + 0$

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Langkah 2.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

Langkah 2.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ dan $- 2 y]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ pada $3$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Langkah 8.2.2

Evaluasi $\ln (| y |)$ pada $3$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.4

Untuk menuliskan $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.5

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.7.1

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.7.2

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.10

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.11

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.12

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.13

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.15

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.15.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.15.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.17

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.18

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.19

Tambahkan $- \frac{3}{2}$ dan $\frac{3}{2}$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.2.3.20

Kurangi $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ dengan $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Langkah 8.4.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Langkah 8.4.3

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$- \ln (3)$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \ln (3)$

Bentuk Desimal:

$- 1.09861228 \dots$

Langkah 10