Kalkulus Contoh

$\frac{x}{\ln (x)}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $x$ .

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (x) - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $\frac{1}{x}$ dan $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.4.2.2

Gabungkan $\ln^{2} (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.5

Kalikan $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Langkah 2.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Gabungkan.

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.6.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.9

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.2

Gabungkan $\frac{\ln (x)}{x}$ dan $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.5.2

Bagilah $2 \ln (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.10.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.11.2.2

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.11.2.3

Kalikan $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.11.2.3.2

Kalikan $\ln (x^{2})$ dengan $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Langkah 2.11.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$