Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $\frac{3}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{4} x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $\frac{- 6}{4}$ dan $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.6

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $\frac{4}{2}$ dan $x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.3.5.2.4

Bagilah $2 x^{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- \frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{2 x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Langkah 2.4.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Langkah 2.4.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Langkah 2.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

Langkah 2.4.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

Langkah 2.4.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

Langkah 2.4.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

Langkah 2.4.10

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

Langkah 2.4.11

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $x^{- 4}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

Langkah 2.4.12

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $\frac{9}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9}{2 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Langkah 3.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{4}}$ sebagai ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Langkah 3.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 3.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 3.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Langkah 3.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Langkah 3.4.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Langkah 3.4.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Langkah 3.4.7

Kalikan $x^{- 8}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Langkah 3.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Langkah 3.4.7.3

Kurangi $8$ dengan $3$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Langkah 3.4.8

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Langkah 3.4.9

Kalikan $- 4$ dengan $9$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Langkah 3.4.10

Gabungkan $\frac{- 36}{2}$ dan $x^{- 5}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Langkah 3.4.11

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Langkah 3.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.1

Faktorkan $2$ dari $- 36$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Langkah 3.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{5}$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Langkah 3.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Langkah 3.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Langkah 3.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

Langkah 4

Turunan ketiga dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$