Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Langkah 1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $π$ keluar dari integral.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Kemudian $d u = - \frac{4}{5} d x$ sehingga $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $20 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $4$ dari $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Langkah 2.1.3

Karena $\frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 (5 - x)}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Langkah 2.1.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.6

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Langkah 2.1.9.2

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Langkah 2.1.9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Langkah 2.1.9.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{5}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $20 - 4 \cdot 0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali $20$ sebagai $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Langkah 2.3.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Langkah 2.3.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Langkah 2.3.1.4

Susun kembali suku-suku.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Langkah 2.3.1.5

Faktorkan $5$ dari $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Langkah 2.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.6.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Langkah 2.3.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Langkah 2.3.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Langkah 2.3.1.6.4

Bagilah $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ dengan $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ sebagai $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $0$ dengan $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $20 - 4 \cdot 5$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Tulis kembali $20$ sebagai $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Langkah 2.5.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Langkah 2.5.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Langkah 2.5.1.4

Susun kembali suku-suku.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Langkah 2.5.1.5

Faktorkan $5$ dari $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Langkah 2.5.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.6.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Langkah 2.5.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Langkah 2.5.1.6.4

Bagilah $- 1 (4 - 4)$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $- 1 (4 - 4)$ sebagai $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Langkah 2.5.3

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Langkah 2.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Langkah 3.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Langkah 3.3

Kalikan $\frac{5}{4}$ dengan $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{5}{4}$ dan $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Langkah 5

Karena $\frac{5}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{5}{4}$ keluar dari integral.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Langkah 6.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{1}{3} u^{3}$ pada $0$ dan pada $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Langkah 8.2.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Langkah 8.2.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Langkah 8.2.4

Kalikan $64$ dengan $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Langkah 8.2.5

Gabungkan $- 64$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Langkah 8.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Langkah 8.2.7

Kurangi $\frac{64}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Langkah 8.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Langkah 8.2.9

Kalikan $\frac{5 π}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Langkah 8.2.10

Kalikan $\frac{5 π}{4}$ dengan $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Langkah 8.2.11

Kalikan $64$ dengan $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Langkah 8.2.12

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Langkah 8.2.13

Hapus faktor persekutuan dari $320$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.13.1

Faktorkan $4$ dari $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Langkah 8.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.13.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Langkah 8.2.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Langkah 8.2.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{80 π}{3}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{80 π}{3}$

Bentuk Desimal:

$83.77580409 \dots$

Langkah 10