Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.1.4

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Langkah 1.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Langkah 1.3.5

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Langkah 1.3.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Langkah 1.3.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

Langkah 1.3.7.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

Langkah 1.3.7.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Langkah 1.3.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.7.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 e^{x} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $3 e^{x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (1 - x) - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.7

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.8

Gabungkan $\frac{1}{1 - x}$ dan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.7.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Untuk menuliskan $- 3 x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

Langkah 3.9.1.2

Gabungkan $- 3 x^{2}$ dan $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Langkah 3.9.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Langkah 3.9.2

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ dan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ dan $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 10

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 11

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Langkah 12

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 13

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 14

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 15

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 16

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 17

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 18

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Langkah 19

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Langkah 19.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Langkah 19.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Langkah 19.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Langkah 20

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.1.2

Kalikan $e^{0}$ dengan $1$ .

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.2.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Langkah 20.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1}$

Langkah 20.2.6

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Langkah 20.3

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Langkah 20.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3$